做 SPC 的时候，有一种情况其实挺让人头疼。

过程没有突然出现一个特别离谱的数据，每一个点单独看好像都还正常，但最近的数据就是感觉有点不对：

连续高了一点，或者连续低了一点。

问题是，这个“一点”可能真的很小。

小到 Xbar-R、I-MR 这样的常规控制图一时还看不出来。

等控制图终于报警的时候，过程可能已经偏了一段时间了。

有没有办法把这种很小、但持续存在的变化早点找出来？

有。

这就是今天要讲的两种时间加权控制图：EWMA 和 CUSUM。

而且这篇不准备只讲概念。

我们直接用 Excel 把它们算出来。

一、为什么还需要时间加权控制图？

先从普通控制图说起。

以最常见的 I-MR 控制图为例，一个新的测量值进来以后，我们主要看这个点在什么位置，有没有超过控制限，有没有触发连续点、趋势之类的判异规则。

这种方法当然很好用。

但是它有一个特点：

当前点就是当前点。

假设一个稳定过程的中心是 100，正常波动大概是：

100.2、99.7、100.4、99.6、100.1……

突然来了一个 103。

这种异常，常规控制图很容易发现。

但如果过程变成：

100.2、100.3、100.4、100.3、100.5、100.6、100.5……

每个点都不夸张。

可是如果原来的过程长期稳定在 100 附近，我们真正想知道的是：

它是不是已经开始慢慢往上走了？

这正是 EWMA 和 CUSUM 擅长的事情。

它们并不只看当前这个点。

它们会把历史带进来。

所以才叫“时间加权控制图”。

二、先做 EWMA：越近的数据，权重越大

EWMA 的全称是 Exponentially Weighted Moving Average，指数加权移动平均控制图。

名字有点长，其实思想并不复杂。

它的核心公式只有一个：

Zt = λXt + (1－λ)Zt-1

其中：

• Xt：当前数据
• Zt：当前 EWMA 值
• Zt-1：上一个 EWMA 值
• λ：平滑参数

比如 λ=0.2。

那么：

今天的数据占 20%，过去累计的信息占 80%。

下一次再计算的时候，又加入新的数据。

所以越久以前的数据，影响会越来越小，但不会突然消失。

这就是“指数加权”。

三、用 Excel 做单值 EWMA

我们先从最简单的单值数据开始。

假设原始数据放在 A 列：

A1 输入：data

A2 开始放测量值。

首先计算过程均值：

=AVERAGE(A2:A30)

接下来还需要估计过程标准差。

单值数据没有子组标准差，所以这里采用移动极差估计。

从第二个数据开始：

MR = |Xi－Xi-1|

Excel 可以写成：

=ABS(A3-A2)

一直向下填充。

然后计算平均移动极差 MRbar。

当移动极差长度为 2 时：

σ = MRbar / 1.128

Excel 中就是：

=AVERAGE(G3:G30)/1.128

到这里，过程均值和 Sigma 都有了。

四、开始计算 EWMA

这里取：

λ = 0.2

控制限宽度：

L = 3

第一个 EWMA 值可以写成：

=0.2*A2+(1-0.2)*Mean

后面的数据递推：

=0.2*A3+(1-0.2)*前一个EWMA

再一直向下填充。

这时候会发现一个挺有意思的现象：

原始数据可能上上下下跳得比较厉害，但是 EWMA 曲线明显平滑很多。

但千万不要因此理解成：

EWMA 只是给控制图做了一条移动平均线。

不是。

真正重要的是它后面的控制限。

五、EWMA 的控制限为什么一开始是收窄的？

EWMA 第 t 个点的控制限为：

UCL = μ + Lσ√[λ/(2－λ) × (1－(1－λ)^(2t))]

CL = μ

LCL = μ－Lσ√[λ/(2－λ) × (1－(1－λ)^(2t))]

Excel 里完全可以直接写这个公式。

例如我们已经把：

• λ 放在 I1
• L 放在 I2
• Mean 放在 I3
• Sigma 放在 I4
• t 放在 F 列

那么 UCL 可以写成：

=$I$3+$I$2*$I$4*SQRT($I$1/(2-$I$1)*(1-(1-$I$1)^(2*F2)))

LCL 同理。

把公式向下拉，再把 EWMA、UCL、CL、LCL 做成折线图，一张完整的 EWMA 控制图就出来了。

这里第一次自己用 Excel 做的人，经常会发现一个奇怪现象：

为什么 EWMA 的控制限不是两条平行直线？

因为刚开始的时候，历史信息还很少。

随着 t 不断增加：

(1－λ)^(2t)

会越来越接近 0。

控制限也就逐渐趋于稳定。

所以 EWMA 前面的控制限比较窄，后面逐渐展开，最后接近稳定值。

这不是 Excel 算错了。

EWMA 本来就是这样的。

六、如果数据是子组，千万别直接照搬单值公式

这一步很容易算错。

假设每次抽取 5 个产品：

X1、X2、X3、X4、X5。

这时候 EWMA 监控的已经不是单个测量值，而是：

每个子组的 Xbar。

所以第一步先计算每组均值：

=AVERAGE(A2:E2)

然后 EWMA 对这个 Xbar 进行递推。

但是还有一个更容易忽略的问题：

控制限不能直接使用单个产品的过程标准差。

我们先通过各子组内部的离差计算合并标准差。

每组计算：

=DEVSQ(A2:E2)

把所有子组的组内平方和加起来，再除以总的组内自由度，由此得到合并标准差。

但这个 Sigma 表示的是：

单个观测值的过程标准差。

而现在 EWMA 监控的是 Xbar。

所以真正进入控制限公式的应该是：

σXbar = σ / √n

假设每组 n=5：

=Sigma/SQRT(5)

这一点很重要。

我们自己用 Excel 和 Minitab 对结果的时候，一开始就遇到了这个问题：

合并标准差已经和 Minitab 一模一样，但 UCL、LCL 就是对不上。

最后发现原因就是这里。

Sigma 对了，但控制限里面少除了一个 √n。

补上以后，结果就一致了。

这也是自己动手做一遍控制图的价值。

很多公式看起来都懂，真正做到 Excel 里面，才会发现自己到底有没有理解它。

EXCEL中的合并标准差如何计算，请看<全网第一个讲清楚CPK**如何计算的，Step by step**，Excel和Python同时实现>

七、EWMA 到底强在哪里？

EWMA 最大的价值，不是让曲线变平滑。

而是：

让最近一段时间连续出现的小偏移逐渐积累成一个可以识别的信号。

λ 越小，历史的影响越大，曲线越平滑，对持续小偏移越敏感；

λ 越大，当前数据的影响越大，反应更快，也越来越接近常规控制图的思路。

实际使用中，λ=0.2 是一个很常见的选择。

但 EWMA 不是唯一的方法。

还有一种方法更加直接：

你偏一点，我就记一点；你继续偏，我继续往上加。

这就是 CUSUM。

八、CUSUM：一个点不明显，那就把偏差累加起来

CUSUM 是 Cumulative Sum Control Chart，累积和控制图。

它和 EWMA 的思想不完全一样。

EWMA 是加权。

CUSUM 是累积。

假设过程目标均值为 μ。

每来一个数据 Xi，我们先计算：

Ci = Xi－μ

如果数据围绕目标值随机波动：

一会儿正，一会儿负。

这些偏差不会长期朝同一个方向累积。

但假设过程均值真的向上移动了一点。

例如每次平均只高 0.3σ。

单独看 0.3σ 根本不算什么。

但是：

第一次 +0.3
第二次 +0.3
第三次 +0.3
第四次又 +0.3……

CUSUM 就会越来越大。

所以它对持续的小幅均值偏移非常敏感。

九、用 Excel 做 CUSUM

这里采用常见的表格式 CUSUM，也就是同时计算：

C+：向上的累积偏差

和

C-：向下的累积偏差

先设定两个参数：

k = 0.5

h = 4

其中 k 是参考值，h 是决策区间参数。

如果过程标准差为 σ，那么：

K = kσ

决策限为：

H = hσ

十、先算单值 CUSUM

假设数据在 B 列，目标均值为 μ。

先计算每个点相对于目标值的偏差：

Ci = Xi－μ

Excel：

=B2-$L$1

然后计算向上的累积：

C+i = MAX(0，Ci－K+C+i-1)

Excel：

=MAX(0,C3-$L$4+D2)

向下累积：

C-i = MIN(0，Ci+K+C-i-1)

Excel：

=MIN(0,C3+$L$4+E2)

这里有一个设计很巧妙的地方。

C+ 不允许低于 0。

如果向上的趋势消失了，它会回到 0，重新开始累计。

C- 则相反，不允许高于 0。

所以：

C+ 专门盯着过程往上偏。

C- 专门盯着过程往下偏。

最后设置：

UCL = hσ

LCL = -hσ

只要 C+ 超过 UCL，或者 C- 低于 LCL，就产生信号。

十一、子组 CUSUM 怎么算？

如果每次不是测量一个，而是抽取一个子组，比如每组 5 个数据，道理和刚才的 EWMA 一样。

先计算：

Xbar

然后：

Ci = Xbar－μ

接下来再计算 C+ 和 C-。

这里同样有一个非常重要的地方：

如果我们通过组内数据计算出来的是过程的合并标准差 σ，那么 CUSUM 监控 Xbar 时应该使用：

σXbar = σ / √n

而不是直接拿单个观测值的 σ 去计算 K 和 H。

所以子组 CUSUM 的：

K = k × σXbar

H = h × σXbar

这一点和子组 EWMA 的逻辑其实完全一样。

只要记住一句话：

你控制图上画的统计量是谁，控制限使用的标准误就应该对应谁。

画单值，用单值的 σ。

画 Xbar，就要考虑 √n。

十二、EWMA 和 CUSUM，到底选哪个？

讲到这里，很多人自然会问：

既然两个都是发现小偏移，那到底应该用谁？

其实没必要非得分个高下。

它们解决的是非常相近的问题，只是处理历史信息的方法不同。

EWMA 是：

给过去的数据逐渐降低权重。

CUSUM 是：

把持续同方向的偏差累积起来。

从图形上看，EWMA 更像我们熟悉的传统控制图。

一条统计量曲线，在上下控制限之间运行。

所以实际现场使用时，EWMA 往往比较直观。

CUSUM 则更像是在看：

过程到底欠了多少“偏差账”。

一次小偏差没关系。

连续很多次朝同一个方向偏，这笔账就越积越多，最后触发报警。

因此 CUSUM 对持续的小均值变化非常敏感。

十三、有了 EWMA 和 CUSUM，是不是就不用 Xbar-R、I-MR 了？

当然不是。

这可能反而是使用时间加权控制图时最应该注意的问题。

EWMA 和 CUSUM 并不是为了淘汰传统控制图。

如果过程突然出现一个非常大的异常点，传统 Shewhart 控制图本身就非常有效，而且图形简单、原因容易解释。

EWMA、CUSUM 真正擅长的是另一类问题：

幅度不大，但是持续存在的过程变化。

所以更准确的理解应该是：

Shewhart 控制图擅长发现较大的突然变化；

EWMA、CUSUM擅长发现较小但持续的变化。

它们是互补关系。

十四、为什么建议自己用 Excel 做一次？

实际工作当然没必要每天手工拉公式。

成熟的 SPC 软件点几下就能生成 EWMA 和 CUSUM，比如斌果SPC。

但如果真的想理解这两张控制图，我还是很建议自己用 Excel 做一次。

因为做完以后，很多以前背下来的东西会突然变得很清楚：

为什么 EWMA 要有 λ？

为什么 λ 越小曲线越平滑？

为什么 EWMA 前几个点的控制限不是平行的？

CUSUM 为什么要分 C+ 和 C-？

k 到底在公式里干了什么？

为什么子组数据算出来的 Sigma 明明没错，控制限却还是和 Minitab 对不上？

尤其最后这个问题。

单个观测值的过程标准差，和子组均值的标准误，不是一回事。

σXbar = σ/√n

一个很简单的公式。

但如果没有真正自己算过一次，很容易在软件给出结果以后直接接受，而没有意识到软件背后到底做了什么。

这也是我一直觉得学习 SPC 很重要的一点：

不要只会看控制图。

最好知道这张图是怎么算出来的。

当你能用一个普通 Excel，把 EWMA 和 CUSUM 从原始数据一步一步算出来，而且结果能够和专业统计软件对应上时，这两种控制图基本上也就真正理解了。

下一次再看到一串“看起来都没超限，但总感觉过程正在慢慢变化”的数据，你大概就知道该用什么工具了。

大异常，普通控制图往往看得很清楚。

真正难发现的，反而是那些每次只偏一点点，却一直在偏的过程。

而这，恰恰是 EWMA 和 CUSUM 存在的意义。

本文基于我们用excel实现的这两个控制图（和minitab一模一样）通过AI编写。